1.2 函數的極值,第四章 §1 函數的單調性與極值,,學習目標 1.了解函數極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數的極值與導數的關系. 2.掌握函數極值的判定及求法. 3.掌握函數在某一點取得極值的條件．,問題導學,達標檢測,題型探究,內容索引,問題導學,,知識點一 函數的極值點與極值的概念,,,,,梳理 (1)如圖1，在包含x0的一個區間(a，b)內，函數y＝f(x)在任何一點的函數值都小于或等于x0點的函數值，稱點x0為函數y＝f(x)的極大值點，其函數值f(x0)為函數的極大值． (2)如圖2，在包含x0的一個區間(a，b)內，函數y＝f(x)在任何一點的函數值都大于或等于x0點的函數值，稱點x0為函數y＝f(x)的極小值點，其函數值f(x0)為函數的極小值． (3)極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點．,,知識點二 函數極值的判定,1.單調性判別： (1)如果函數y＝f(x)在區間(a，x0)上是 ，在區間(x0，b)上是_____，則x0是極大值點，f(x0)是極大值. (2)如果函數y＝f(x)在區間(a，x0)上是 ，在區間(x0，b)上是 ，則x0是極小值點，f(x0)是極小值.,減少,的,增加的,減少的,增加的,2.圖表判別： (1)極大值的判定：,(2)極小值的判定：,,知識點三 求函數y＝f(x)的極值的步驟,1.求出導數f′(x). 2.解方程f′(x)＝0. 3.對于方程f′(x)＝0的每一個解x0，分析f′(x)在x0左、右兩側的符號(即f(x)的單調性)，確定極值點： (1)若f′(x)在x0兩側的符號為“左正右負”，則x0為極大值點； (2)若f′(x)在x0兩側的符號為“左負右正”，則x0為極小值點； (3)若f′(x)在x0兩側的符號相同，則x0不是極值點.,[思考辨析 判斷正誤] 1.導數值為0的點一定是函數的極值點.( ) 2.在可導函數的極值點處，切線與x軸平行.( ) 3.函數f(x)＝ 無極值.( ) 4.定義在[a，b]上的連續函數f(x)若有極值f(x0)，則x0∈(a，b).( ) 5.函數的極值點一定是其導函數的變號零點.( ),×,×,√,√,√,題型探究,,類型一 求函數的極值,解答,例1 求下列函數的極值. (1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；,解 函數f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定義域為R， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)， 解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1. 當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：,所以當x＝－2時，f(x)取極大值21； 當x＝1時，f(x)取極小值－6.,(2)f(x)＝x2－2ln x.,解答,解 函數f(x)＝x2－2ln x的定義域為(0，＋∞)，,得x1＝1，x2＝－1(舍去). 當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：,因此當x＝1時，f(x)有極小值1，無極大值.,反思與感悟 求可導函數f(x)的極值的步驟 (1)確定函數的定義域，求導數f′(x). (2)求f(x)的拐點，即求方程f′(x)＝0的根. (3)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值. 特別提醒：在判斷f′(x)的符號時，借助圖像也可判斷f′(x)各因式的符號，還可用特殊值法判斷.,跟蹤訓練1 已知函數f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4. (1)求a，b的值；,解答,解 f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4 ＝ex(ax＋a＋b)－2x－4， f′(0)＝a＋b－4＝4， ① 又f(0)＝b＝4， ② 由①②可得a＝b＝4.,(2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值.,解答,解 f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x， 則f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝(x＋2)(4ex－2). 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2， 當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：,f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上是增加的， 在(－2，－ln 2)上是減少的. 當x＝－2時，函數f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2).,,類型二 已知函數極值求參數,例2 設x＝1與x＝2是函數f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個極值點. (1)試確定常數a和b的值；,由題意可知f′(1)＝f′(2)＝0，,解答,(2)判斷x＝1，x＝2是函數f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由.,解答,解 x＝1，x＝2分別是函數f(x)的極小值點，極大值點. 理由如下：,又∵f(x)的定義域為(0，＋∞)， ∴當x∈(0,1)時，f′(x)0； 當x∈(2，＋∞)時，f′(x)0，此時f(x)是增加的；,當x∈(－3，－1)時，f′(x)0，此時f(x)是增加的. 故f(x)在x＝－1處取得極小值，∴a＝2，b＝9.,(2)若函數f(x)＝ x3－x2＋ax－1有極值點，則a的取值范圍為________.,解析,答案,(－∞，1),解析 ∵f′(x)＝x2－2x＋a， 由題意得方程x2－2x＋a＝0有兩個不同的實數根， ∴Δ＝4－4a>0，解得a0. 所以由f(x)的單調性可知， f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，,在x＝1處取得極小值f(1)＝－3. 作出f(x)的大致圖像如圖所示.,因為直線y＝m與函數y＝f(x)的圖像有三個不同的交點， 結合f(x)的圖像可知，m的取值范圍是(－3,1).,引申探究 若本例“三個不同的交點”改為“兩個不同的交點”結果如何？改為“一個交點”呢？,解答,解 由本例解析可知當m＝－3或m＝1時， 直線y＝m與y＝f(x)的圖像有兩個不同的交點； 當m1時，直線y＝m與y＝f(x)的圖像只有一個交點.,反思與感悟 利用導數可以判斷函數的單調性，研究函數的極值情況，并能在此基礎上畫出函數的大致圖像，從直觀上判斷函數圖像與x軸的交點或兩個函數圖像的交點的個數，從而為研究方程根的個數問題提供了方便.,跟蹤訓練3 已知函數f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函數y＝f(x)的圖像與y＝f′(x)＋5x＋m的圖像有三個不同的交點，求實數m的取值范圍.,解答,解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3， 可得f′(x)＝3x2－12x＋9，,則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個不相等的實根， 即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖像與x軸有三個不同的交點. ∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，,當x變化時，g(x)，g′(x)的變化情況如下表：,達標檢測,1.函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖像如圖所示，則函數f(x) A.無極大值點，有四個極小值點 B.有三個極大值點，兩個極小值點 C.有兩個極大值點，兩個極小值點 D.有四個極大值點，無極小值點,答案,解析,√,1,2,3,4,5,解析 f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值， f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值， 由圖像易知有兩個極大值點，兩個極小值點.,2.已知函數f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有極大值，也有極小值，則實數a的取值范圍為,1,2,3,4,5,答案,解析,√,解析 f′(x)＝3ax2－2x＋1，令f′(x)＝0， 即3ax2－2x＋1＝0有兩個不等實根，,3.已知a為函數f(x)＝x3－12x的極小值點，則a等于 A.－4 B.－2 C.4 D.2,1,2,3,4,5,答案,解析,√,解析 ∵f(x)＝x3－12x， ∴f′(x)＝3x2－12， 令f′(x)＝0，則x1＝－2，x2＝2. 當x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時，f′(x)>0，則f(x)是增加的； 當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，則f(x)是減少的， ∴f(x)的極小值點為a＝2.,4.設函數f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2＝1，則實數a的值為________.,1,2,3,4,5,答案,解析,9,解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.,所以a＝9.,5.已知曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在點(1，f(1))處的切線斜率為3，且x＝是y＝f(x)的極值點，則a＋b＝________.,1,2,3,4,5,答案,解析,－2,解析 因為f′(x)＝3x2＋2ax＋b，,1.在極值的定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值，極值指的是函數值. 2.函數的極值是函數的局部性質.可導函數f(x)在點x＝x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0且在x＝x0兩側f′(x)符號相反. 3.利用函數的極值可以確定參數的值，解決一些方程的解和圖像的交點問題.,規律與方法,