北師大版高中數學選修1-1課件:4.1.2 函數的極值
1.2 函數的極值,第四章 §1 函數的單調性與極值,,學習目標 1.了解函數極值的概念,會從幾何方面直觀理解函數的極值與導數的關系. 2.掌握函數極值的判定及求法. 3.掌握函數在某一點取得極值的條件.,問題導學,達標檢測,題型探究,內容索引,問題導學,,知識點一 函數的極值點與極值的概念,,,,,梳理 (1)如圖1,在包含x0的一個區間(a,b)內,函數y=f(x)在任何一點的函數值都小于或等于x0點的函數值,稱點x0為函數y=f(x)的極大值點,其函數值f(x0)為函數的極大值. (2)如圖2,在包含x0的一個區間(a,b)內,函數y=f(x)在任何一點的函數值都大于或等于x0點的函數值,稱點x0為函數y=f(x)的極小值點,其函數值f(x0)為函數的極小值. (3)極大值與極小值統稱為極值,極大值點與極小值點統稱為極值點.,,知識點二 函數極值的判定,1.單調性判別: (1)如果函數y=f(x)在區間(a,x0)上是 ,在區間(x0,b)上是_____,則x0是極大值點,f(x0)是極大值. (2)如果函數y=f(x)在區間(a,x0)上是 ,在區間(x0,b)上是 ,則x0是極小值點,f(x0)是極小值.,減少,的,增加的,減少的,增加的,2.圖表判別: (1)極大值的判定:,(2)極小值的判定:,,知識點三 求函數y=f(x)的極值的步驟,1.求出導數f′(x). 2.解方程f′(x)=0. 3.對于方程f′(x)=0的每一個解x0,分析f′(x)在x0左、右兩側的符號(即f(x)的單調性),確定極值點: (1)若f′(x)在x0兩側的符號為“左正右負”,則x0為極大值點; (2)若f′(x)在x0兩側的符號為“左負右正”,則x0為極小值點; (3)若f′(x)在x0兩側的符號相同,則x0不是極值點.,[思考辨析 判斷正誤] 1.導數值為0的點一定是函數的極值點.( ) 2.在可導函數的極值點處,切線與x軸平行.( ) 3.函數f(x)= 無極值.( ) 4.定義在[a,b]上的連續函數f(x)若有極值f(x0),則x0∈(a,b).( ) 5.函數的極值點一定是其導函數的變號零點.( ),×,×,√,√,√,題型探究,,類型一 求函數的極值,解答,例1 求下列函數的極值. (1)f(x)=2x3+3x2-12x+1;,解 函數f(x)=2x3+3x2-12x+1的定義域為R, f′(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1), 解方程6(x+2)(x-1)=0,得x1=-2,x2=1. 當x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況如下表:,所以當x=-2時,f(x)取極大值21; 當x=1時,f(x)取極小值-6.,(2)f(x)=x2-2ln x.,解答,解 函數f(x)=x2-2ln x的定義域為(0,+∞),,得x1=1,x2=-1(舍去). 當x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況如下表:,因此當x=1時,f(x)有極小值1,無極大值.,反思與感悟 求可導函數f(x)的極值的步驟 (1)確定函數的定義域,求導數f′(x). (2)求f(x)的拐點,即求方程f′(x)=0的根. (3)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表,根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值. 特別提醒:在判斷f′(x)的符號時,借助圖像也可判斷f′(x)各因式的符號,還可用特殊值法判斷.,跟蹤訓練1 已知函數f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4. (1)求a,b的值;,解答,解 f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4 =ex(ax+a+b)-2x-4, f′(0)=a+b-4=4, ① 又f(0)=b=4, ② 由①②可得a=b=4.,(2)討論f(x)的單調性,并求f(x)的極大值.,解答,解 f(x)=ex(4x+4)-x2-4x, 則f′(x)=ex(4x+8)-2x-4=4ex(x+2)-2(x+2)=(x+2)(4ex-2). 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=-ln 2, 當x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況如下表:,f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上是增加的, 在(-2,-ln 2)上是減少的. 當x=-2時,函數f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).,,類型二 已知函數極值求參數,例2 設x=1與x=2是函數f(x)=aln x+bx2+x的兩個極值點. (1)試確定常數a和b的值;,由題意可知f′(1)=f′(2)=0,,解答,(2)判斷x=1,x=2是函數f(x)的極大值點還是極小值點,并說明理由.,解答,解 x=1,x=2分別是函數f(x)的極小值點,極大值點. 理由如下:,又∵f(x)的定義域為(0,+∞), ∴當x∈(0,1)時,f′(x)0; 當x∈(2,+∞)時,f′(x)0,此時f(x)是增加的;,當x∈(-3,-1)時,f′(x)0,此時f(x)是增加的. 故f(x)在x=-1處取得極小值,∴a=2,b=9.,(2)若函數f(x)= x3-x2+ax-1有極值點,則a的取值范圍為________.,解析,答案,(-∞,1),解析 ∵f′(x)=x2-2x+a, 由題意得方程x2-2x+a=0有兩個不同的實數根, ∴Δ=4-4a>0,解得a0. 所以由f(x)的單調性可知, f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,,在x=1處取得極小值f(1)=-3. 作出f(x)的大致圖像如圖所示.,因為直線y=m與函數y=f(x)的圖像有三個不同的交點, 結合f(x)的圖像可知,m的取值范圍是(-3,1).,引申探究 若本例“三個不同的交點”改為“兩個不同的交點”結果如何?改為“一個交點”呢?,解答,解 由本例解析可知當m=-3或m=1時, 直線y=m與y=f(x)的圖像有兩個不同的交點; 當m1時,直線y=m與y=f(x)的圖像只有一個交點.,反思與感悟 利用導數可以判斷函數的單調性,研究函數的極值情況,并能在此基礎上畫出函數的大致圖像,從直觀上判斷函數圖像與x軸的交點或兩個函數圖像的交點的個數,從而為研究方程根的個數問題提供了方便.,跟蹤訓練3 已知函數f(x)=x3-6x2+9x+3,若函數y=f(x)的圖像與y=f′(x)+5x+m的圖像有三個不同的交點,求實數m的取值范圍.,解答,解 由f(x)=x3-6x2+9x+3, 可得f′(x)=3x2-12x+9,,則由題意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三個不相等的實根, 即g(x)=x3-7x2+8x-m的圖像與x軸有三個不同的交點. ∵g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),,當x變化時,g(x),g′(x)的變化情況如下表:,達標檢測,1.函數f(x)的定義域為R,導函數f′(x)的圖像如圖所示,則函數f(x) A.無極大值點,有四個極小值點 B.有三個極大值點,兩個極小值點 C.有兩個極大值點,兩個極小值點 D.有四個極大值點,無極小值點,答案,解析,√,1,2,3,4,5,解析 f′(x)的符號由正變負,則f(x0)是極大值, f′(x)的符號由負變正,則f(x0)是極小值, 由圖像易知有兩個極大值點,兩個極小值點.,2.已知函數f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上既有極大值,也有極小值,則實數a的取值范圍為,1,2,3,4,5,答案,解析,√,解析 f′(x)=3ax2-2x+1,令f′(x)=0, 即3ax2-2x+1=0有兩個不等實根,,3.已知a為函數f(x)=x3-12x的極小值點,則a等于 A.-4 B.-2 C.4 D.2,1,2,3,4,5,答案,解析,√,解析 ∵f(x)=x3-12x, ∴f′(x)=3x2-12, 令f′(x)=0,則x1=-2,x2=2. 當x∈(-∞,-2),(2,+∞)時,f′(x)>0,則f(x)是增加的; 當x∈(-2,2)時,f′(x)<0,則f(x)是減少的, ∴f(x)的極小值點為a=2.,4.設函數f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的兩個極值點為x1,x2,且x1x2=1,則實數a的值為________.,1,2,3,4,5,答案,解析,9,解析 f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.,所以a=9.,5.已知曲線f(x)=x3+ax2+bx+1在點(1,f(1))處的切線斜率為3,且x=是y=f(x)的極值點,則a+b=________.,1,2,3,4,5,答案,解析,-2,解析 因為f′(x)=3x2+2ax+b,,1.在極值的定義中,取得極值的點稱為極值點,極值點指的是自變量的值,極值指的是函數值. 2.函數的極值是函數的局部性質.可導函數f(x)在點x=x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0且在x=x0兩側f′(x)符號相反. 3.利用函數的極值可以確定參數的值,解決一些方程的解和圖像的交點問題.,規律與方法,